games101计算机图形学入门 (一)线性代数部分

本节课主要带大家了解了一下课程全貌，课程目的，同时复习了一下线性代数部分方便后续变换部分的学习

同时，本课程使用的辅助教材为《Fundamentals of Computer Graphics》，后续每节课的对应辅助教材章节，我同样会进行标注

阅读材料：第 2 章（Miscellaneous Math）；第 5 章（Linear Algebra）

向量的基础运算

  • 向量的点乘：可得两向量的夹角
  • 向量的叉乘：可以确定在另一向量的坐标或右边（叉乘结果的正负来确定），用于光栅化着色的部分判定像素是不是在三角形内

矩阵的基础运算

\[
\left( AB\right) ^{T}=B^{T}\cdot A^{T}
\] \[
AA^{-1}=A^{-1}A
\] \[
\left( AB\right) ^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]

向量的点乘

\[
\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}^{T}\overrightarrow{b}
\]
  • 在二维空间中
\[
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{xa}\\{ya}\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{xb}\\{yb}\end{array}} \right) = xaxb + yayb
\]
  • 在三维空间中
\[
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{xa}\\
{ya}\\
{za}
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{xb}\\
{yb}\\
{zb}
\end{array}} \right) = xaxb + yayb + zazb
\]

向量的叉乘

\[
\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=A^{\ast }b
\]
  • 叉乘可以写为A伴随乘b
\[
\begin{array}{c}
a \times b=-b \times a \\
\|a \times b\|=\|a|\| b| \mid \sin \phi
\end{array}
\]

对于线性代数中一些简单运算的总结

\[
\begin{array}{l}
\vec{x} \times \vec{y}=+\vec{z}\\
\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}\\
\vec{y} \times \vec{x}=-\vec{z}\\
\vec{a} \times \vec{a}=\overrightarrow{0}\\
\vec{y} \times \vec{z}=+\vec{x}\\
\vec{z} \times \vec{y}=-\vec{x}\\
\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}\\
\vec{z} \times \vec{x}=+\vec{y} \quad \vec{a} \times(k \vec{b})=k(\vec{a} \times \vec{b})\\
\vec{x} \times \vec{z}=-\vec{y}\\
\end{array}
\]

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图片来源:闫令琪老师的games101计算机图形学入门课程，欢迎大家前去了解
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