games101计算机图形学入门 (三)模型、视图、投影
本节课续上一课，上一课我们研究了2D平面的变换，这节课，我们转向到3D的情况，学习，视图(view),投影(projection),正交(orthographic),透视(perspective);
阅读材料：第 6 章（Transformation Matrices），第 6.2、6.4、6.5 节；第 7 章（Viewing）
变换
缩放
\[
\mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}, s_{z}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
s_{x} & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_{y} & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_{z} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]
平移
\[
\mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}, s_{z}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
s_{x} & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_{y} & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_{z} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]
三维之中的旋转
绕x轴
\[
\mathbf{R}_{x}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]
绕y轴
\[
\mathbf{R}_{y}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}
\cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]
绕z轴
\[
\mathbf{R}_{z}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]
ps : 绕哪个轴转，哪个轴的对角线值为1
对于一个任意旋转
大家是否还记得上一节课，我们对于绕任意一点进行旋转的处理呢?
没错，在这里，我们同样借用了上一节的思想，对于绕任意轴旋转这样复杂的变换，我们一定可以将其分解为绕xyz轴旋转矩阵的结合。这样，我们就得到了罗德里德斯旋转公式。
为什么只是简单定义一个向量来表示旋转轴呢？
因为对于任意轴，我们都可以将其平移到原点，在对他进行旋转，所以可以只用一个向量来表示旋转轴
\[
\mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha)=\cos (\alpha) \mathbf{I}+(1-\cos (\alpha)) \mathbf{n} \mathbf{n}^{T}+\sin (\alpha) \underbrace{\left(\begin{array}{ccc}
0 & -n_{z} & n_{y} \\
n_{z} & 0 & -n_{x} \\
-n_{y} & n_{x} & 0
\end{array}\right)}_{\mathbf{N}}
\]
ps本课不介绍四元数
四元数在现在也在广泛应用，因为对于这样的一个旋转矩阵，我们是无法进行插值的，而在图形学中，为了将离散的数据连续化，我们会经常使用到插值，以及插值的思想，而四元数，是可以进行插值的
视图(view)
回到我们的主题，学习这些变换，我们是为了处理图形投影之中的一些问题，思考 怎样拍一张照片？
- 安排被拍照人员位置
- 放好相机
- 拍照
在图形学的成像过程，同样也是这样的三部，而第一步就是view(视图变换)
对相机进行定义
- position 位置
\[
\vec{e}
\]
- look at 观察的方向
\[
\hat{g}
\]
- up direction 向上的方向
\[
\hat{t}
\]
对比物理之中的相对位置，如果2个物体一同移动了同样的位移，那么，2个物体是相对静止的，不变的。那么，我们可以不可以将相机永远放在一个位置？方便我们进行后续的计算。
以此作为推论，我们假设让相机永远在原点，相机永远对着-z轴看，相机上方向永远为y轴正方向，那么要怎么操作呢？
- 将相机移动到中心
\[
T_{\text {view }}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -x_{e} \\
0 & 1 & 0 & -y_{e} \\
0 & 0 & 1 & -z_{e} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
- 将三个轴，分别旋转到x,y,z
大家可以设想一下，让t旋转到y,g旋转到-z方向，e自然就对到x
很显然，这是可以实现的，但是却不是那么的好写出他的矩阵，我们不如回想一下前一节课的内容：对于二维图形的旋转，没错，我们不需要直接求出该旋转矩阵，我们只需要求出从x->e,y->t,-z->g,在对他进行转置，得到的就是我们需要的矩阵。
\[
R_{v i e w}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}
x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_{t} & x_{-g} & 0 \\
y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{t} & y_{-g} & 0 \\
z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{t} & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\] \[
R_{\text {view }}=\left[\begin{array}{cccc}
x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\
x_{t} & y_{t} & z_{t} & 0 \\
x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
至此，我们已经可以将摄像机从任意一点移回原点，并且规范化
投影 (projection)
正交投影(orthographic projection) 与 透视投影(perspective projection)
本质 区别：正交投影不会带来近大远小的视觉效果
反应在数学上，我们应该怎么去理解这样的情况呢？
正交投影
对于正交投影，我们有简单粗暴的办法，直接将z值给去掉(用于理解)
对于图形学，我们用更为直接的方式来实现，给我们一个空间中的长方体，立方体，我们都能对他进行操作，达成正则(规范)化成一个[-1,1]三次方的一个立方体
我们为了方便计算，使得x叉乘y要等于z，使用了右手系。这样带来了一些问题，对于这个图来说，z轴上，我们定义了远近，但是我们面向的是-z方向，z大的离我们进，z小的离我们远。
实际操作的变换矩阵 ： 移动到原点,再进行缩放
\[
M_{\text {ortho }}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
至此，我们实现了正交投影
透视投影
引入：在欧式几何里，我们都知道，平行线是永不相交的,但是，从图形中，我们看到了两条平行线出现了相交，这就是黎曼几何所研究的部分
透视投影和平行投影有什么区别?
透视投影的远平面比近平面的大小是不一样的，而正交投影的远平面和近平面是一样的。
那么我们是不是想办法先把透视投影转化为正交投影呢？答案是肯定的，只要使得近平面和远平面之间的空间进行挤压，那么我们就能得到透视投影
在得到矩阵前，我们先进行几个定义
- 近平面永远不发生变化
- 远平面的中心点变化后还在中心
- 远平面的z值是不会发生变化的
那么现在，我们就可以开始推导透视变换矩阵了
我们观察这个图形，可以，有2个值应该是能很快就可以计算得出的，既x,y的变换，是可以快速推导出的，这个三角形是一个相似三角形，由此推出
\[
y^{\prime}=\frac{n}{z} y \quad x^{\prime}=\frac{n}{z} x
\]
目前，z值的变换就变得非常难以推导。这里，采用猜想的办法，用特定点来推出
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z \\
1
\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{c}
n x / z \\
n y / z \\
\text { unknown } \\
1
\end{array}\right)
\]
我们还记得我们定义的运算可以得出
\[
\Rightarrow\left(\begin{array}{c}
n x \\
n y \\
\text { unknown } \\
z
\end{array}\right)
\]
我们不如从得出的结果，来推导运算的矩阵
第一，二，四行的推导相对容易，因为我们知道，对应的x,y,z的变换
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z \\
1
\end{array}\right)\Rightarrow\left(\begin{array}{c}
n x \\
n y \\
\text { unknown } \\
z
\end{array}\right)
\]
从而得到变换矩阵的对应位置
\[
M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\left(\begin{array}{cccc}
n & 0 & 0 & 0 \\
0 & n & 0 & 0 \\
? & ? & ? & ? \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
\]
同样的，第三行不好推导，我们参照定义
因为近平面z是不变的，那么将n带入所以可以得到
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
n \\
1
\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
n \\
1
\end{array}\right)==\left(\begin{array}{c}
n x \\
n y \\
n^{2} \\
n
\end{array}\right)
\]
可以推导出
\[
\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & A & B
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
n \\
1
\end{array}\right)=n^{2}
\]
同时，对于远平面，处于中点的点进行变换后，仍然处于中点
\[
\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
f \\
1
\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
f \\
1
\end{array}\right)==\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
f^{2} \\
f
\end{array}\right)
\]
那么，对于一个近平面，对于远平面的中心点，我们可以得到这样一个方程组
\[
\begin{array}{l}
A n+B=n^{2} \\
A f+B=f^{2}
\end{array}
\]
解方程组，我们可以得到最后的结果
\[
\begin{array}{l}
A=n+f \\
B=-n f
\end{array}
\]
至此，我们就推导出了完整的一个透视变换矩阵
\[
M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\left(\begin{array}{cccc}
n & 0 & 0 & 0 \\
0 & n & 0 & 0 \\
0 & 0 & n+f & -nf \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
\] \[
M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\left(\begin{array}{cccc}
n & 0 & 0 & 0 \\
0 & n & 0 & 0 \\
0 & 0 & n+f & -nf \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
\]
Thanks you
图片，课程来源:闫令琪老师的games101计算机图形学入门课程，欢迎大家前去了解
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